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“理发师的故事?那是什么?”颖儿眨着眼睛问道。

“一个能形象表述这个悖论的故事。”齐点说道:“原本在我的计划中,你应该是从那个故事中提取出数学信息,然后发现这个悖论。”

“现在你已经提前发现了,那就没必要讲这个故事了。你想听吗?”

“嗯……”颖儿犹豫了一下,说道:“不用了。”

她不知道自己明天还能不能出来,相比于听故事,现在她更希望多了解一点基础知识。

比如朴素集合论该怎么加上限制?

听到颖儿的回答,齐点眼中闪过一抹惊讶。

这个年纪的孩子正是贪玩的时候,老师们讲课都是费尽心思吸引注意力,这个小妹妹不听有趣的故事,而是选择了枯燥无味的数学。

这天生就是研究数学的料啊。

想到这里,他走到白板旁边,身体微侧,进入讲课状态。

“为了解决朴素集合论的这个问题,我们要把集合论公理化,用公理对集合加以限制。”

“所以我们接下来讲……”

齐点在白板上写下几个大字

“ZFc公理系统。”

“这部分内容可能有点难,你需要集中注意力,有什么不理解的地方可以举手提问。”

颖儿用力地点了点头,坐得非常端正。

“ZFc公理系统由ZF公理系统和选择系统组成。下面我们先来讲ZF公理系统的八条公理。”

“首先是外延公理,一个集合完全由它的元素所决定。如果两个集合含有同样的元素,则它们是相等的。”

“……”

齐点讲的很简洁,没有做过多的解释,也没有去举一些形象的例子。

因为颖儿可以理解。

他讲的认真,还简单讲了一下皮亚诺公理系统,颖儿听得入迷。

所谓公理,是指依据人类理性的不证自明的基本事实,不需要再加证明的基本命题。

从这些公理出发,颖儿第一次真正感受到了数学的严谨性。

正是这种严谨性令她着迷。

不知道什么时候,杨岁和吴垠一起走了进来。

见到这两人,齐点迅速讲完这一部分内容,暂停讲课,恭敬地跟两人打招呼。

“吴部长。”

“荣誉委员。”

颖儿和柳绵也起身打招呼。

杨岁双手背后,感觉自己像是那种查课的教导主任。

他踱步到白板面前,还没看就先问齐点:“你这是在讲什么啊?”

齐点回答道:“数学上集合论的内容。”

杨岁眼睛一亮。

集合?

这我熟啊!

高中数学第一章就是集合。

放卷子了就是送分题。

他看向白板,准备用自己有限的学识来指导一下。

当看清白板上的内容后,他懵了一下。

嗯……

这次上面符号他都认识。

那些式子的意思他也能看懂。

但那一排文字怎么那么拗口啊?

“外延定理,空集存在定理……不就是相等和空集吗?整的还挺高大上的。”

“无序对公理……给定任何集合x和任何集合y,有着一个集合A使得,给定任何集合z,z是A的成员,当且仅当z等于x或者z等于y。”

“不是,这是什么东西?这语法都有问题吧?”

齐点赶忙解释道:“其实就是对于任意两个集合 x 和 y ,存在一个集合 A ,使得 A 的元素恰好是 x 和 y 。”

杨岁听了他的解释,又看向白板上的公式描述才理解。

理解后就感觉有种说废话的感觉。

但他又看见了后面这个无序对公理的一般化……

好长一串……

下面那些公理一个比一个拗口,有些甚至他都快看不懂了。

“这真是集合论吗?我学的不是这样啊……”

我记得集合就是很简单的东西啊。

他又看向颖儿。

“颖儿,你能听懂吗?”

颖儿点了点头。

现在讲的都是公理,属于那种只要理解的意思,就觉得很显然的内容,连证明都不需要。

杨岁只觉得这些东西绕来绕去的,他脑子里的神经细胞都快缠住了。

他没再纠结集合的问题,又对齐点问道:“你直接给她开高中的课了?”

“高中?”齐点愣了一下,随即说道:“没有啊,吴部长说因材施教,我没有按正常的课本走,打算先给这位小天才讲一下基础知识。”

杨岁问道:“但这集合不是高中数学的第一章吗?”

齐点说道:“可集合论是整个现代数学的基础啊,所以我才从集合论讲起。”

杨岁懵了,他又说道:“听你这意思,你好像有一套教学计划,能给我讲讲吗?”

这句话说出来,好像更像检查老师的教导主任了。

“当然可以。”齐点将那张a4纸拿了过来,说道:“时间上有些仓促,计划制定的不太详细。”

“没事没事,有计划比没计划强一万倍。”

杨岁接过那张a4纸,本来他以为就是讲函数、数列、向量,几何这些内容。

但齐点这个教学大纲好像跟他想象不太一样……

他是先引入一个简单的概念,然后再讲数学知识,但是……

【这是苹果,这是桃子——世间万物是可分类的!

朴素集合论和罗素悖论。

ZFc公理系统。

映射。】

【一,二,三!——学会数数

集合的势。

皮亚诺公理和自然数。

整数和有理数。】

到这他觉得虽然有点离谱,但还能接受。再往后,他就懵了。

【一加一等于二!——运算带来新的结构!

群及其性质。

环及其性质。

域及其性质。】

【从过去到未来我一直都在!——连续地描述世界

实数的定义和连续统假设。

序列的极限。

几个等价的完备性定理。】

……

看这个大纲,杨岁已经不理解后面要讲什么了。

这都什么跟什么啊!

不是在说苹果和桃子吗?怎么到集合了?

不是在数数吗?皮亚诺公理是什么?

一加一等于二我会。群是什么?环是什么?域是什么?

我是谁?

我在哪?

我要干什么?

杨岁拿着这个教学大纲,嘴唇颤抖了很久才开口问道:“你管这叫基础?”

“嗯……这位小朋友对数学的严谨性比较在乎,这样讲可以给她打下一个比较坚实的数学基础。”

齐点没有直接回答。

他是研究部里为数不多没有跳过级没有被竞赛保送过,安安稳稳上完小学初中高中十二年,大学才开始起飞。

因为他的家乡比较偏僻,上高中去了县城,也没听说过竞赛的事。

所以,他其实知道太岁说的基础是什么。

但这个小妹妹天赋太强了,理解能力很强,而且这个小妹妹的思维很发散。

正常课程满足不了她,她自己都会不自觉的偏离课程。强行把她拽回来的话,那就是在压制她的成长。

吴部长说过因材施教。

这就是因材施教啊……

吴垠也走过来,看了一眼那张a4纸,同样是一脸惊讶。

“专攻数学啊……这样会不会太急于求成了?”

言外之意就是:你会不会太高估她的天赋了?

齐点看了一眼颖儿,说道:“我只给了她一个提示,她就自己提出了罗素悖论。”

“给了什么提示?”

“告诉她存在问题,然后把引导她关注朴素集合论的定义。”

吴垠倒吸一口凉气。

恐怖如斯!

恐怖如斯啊!

如果是这样的话,那就不奇怪了。

他本来以为这就是一个普普通通的小天才。但现在来看,这明显是百年难得一遇的数学天才啊!

按捺住心中的激动,他看向颖儿,温和地说道:“这位老师讲的内容你都听明白了吗?”

“听……听明白了。”颖儿还是有点社恐。

接着,吴垠就白板上已经讲明了几个公里提出了一些问题。

他一脸温和,但提出这些问题并不温和,一个比一个刁钻,但又不超纲。

“颖儿,外延公理说两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。现在,假设我们有两个空集,我叫它们??和??。根据空集存在公理,它们都存在。但??和??是同一个集合吗?用公理证明你的答案。”

听到这个问题,杨岁第一反应是:这不很显然是同一个集合吗?

陆渊在他脑海中问道:“那你用公理证明一下啊。”

“证明?这还要证?”

杨岁很不理解

但颖儿已经陷入了思考。

大概一分钟过后,颖儿很流畅地回答道:“根据外延公理,两个集合相等当且仅当它们有相同的元素。对于两个空集??,??,由于它们都没有任何元素,所以它们的元素完全相同。”

“因此,根据外延公理,因此?? = ??。”

杨岁:“这也能证!”

陆渊说道:“数学是一门严谨的学科,不是你说显然就显然的。”

“但这个证明很简单啊。”

“证明确实简单,但重要的是这个思路。”

听到颖儿的回答,吴垠眼中的欣赏更加浓烈了。

紧接着他又问出了下一个问题。

“你已知道无序对公理……”

“……请用公理解释,并进一步证明:对于任意集合w,单元素集{w}存在且唯一。”

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